隨(sui)機變量(liang)模型和隨(sui)機過(guo)程模型是(shi)研究(jiu)香蕉視頻app下載蘋果版:應力腐蝕概(gai)率(lv)的(de)常(chang)用模型，本章重點介紹隨機變量(liang)模型。

一、應力-強(qiang)度干涉模型

 1942年，Pugsley提出了采用應力、強度分布函數曲線的(de)(de)干涉區(qu)面積(ji)分析(xi)失效概率(lv)的(de)(de)方法，即應力－強度干涉模型(xing)(xing)，該模型(xing)(xing)在(zai)構(gou)件和(he)系統的(de)(de)可靠性(xing)分析(xi)中(zhong)得到了廣(guang)(guang)泛應用。目前，已成為(wei)分析(xi)構(gou)件和(he)系統失效概率(lv)的(de)(de)重要模型(xing)(xing)之一。在(zai)結構(gou)可靠性(xing)分析(xi)中(zhong)，應力－強度（S-R)干涉模型(xing)(xing)應用最廣(guang)(guang)，模型(xing)(xing)中(zhong)的(de)(de)S和(he)R的(de)(de)含義不僅僅是(shi)力學分析(xi)中(zhong)的(de)(de)應力和(he)強度，二者具有(you)更廣(guang)(guang)泛的(de)(de)范疇。對于一個系統而言(yan)，S指的(de)(de)是(shi)造(zao)成結構(gou)破壞的(de)(de)所有(you)因(yin)素，即推動力；R代表了結構(gou)抵抗(kang)破壞的(de)(de)能(neng)力，即阻抗(kang)力。

  應(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)是一種低(di)(di)應(ying)力(li)(li)(li)(li)脆斷(duan)(duan)(duan)，是斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)和腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕兩種機理(li)(li)相(xiang)互影響(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)結果(guo)。因(yin)此，當應(ying)力(li)(li)(li)(li)還遠低(di)(di)于(yu)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)應(ying)力(li)(li)(li)(li)時就(jiu)能(neng)引起應(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕裂(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)(de)產生和擴展。應(ying)力(li)(li)(li)(li)作用降低(di)(di)了(le)(le)材(cai)料的(de)(de)(de)(de)(de)耐(nai)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕性(xing)能(neng)，而腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕降低(di)(di)了(le)(le)材(cai)料的(de)(de)(de)(de)(de)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)強度，兩者是互相(xiang)促進(jin)的(de)(de)(de)(de)(de)。也就(jiu)是說，機械力(li)(li)(li)(li)和化(hua)學力(li)(li)(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)協同作用導致了(le)(le)裂(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)(de)擴展，如果(guo)只有應(ying)力(li)(li)(li)(li)或腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕單獨作用，是不會出(chu)現(xian)應(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)結果(guo)。應(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)要經過(guo)一定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)時間才能(neng)發生，這是因(yin)為能(neng)量積蓄到使材(cai)料破壞(huai)的(de)(de)(de)(de)(de)程(cheng)(cheng)度是需要時間的(de)(de)(de)(de)(de)，應(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕是使材(cai)料強度逐漸(jian)退化(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)過(guo)程(cheng)(cheng)，因(yin)此，我們可(ke)(ke)以(yi)采用耐(nai)久性(xing)損傷(shang)模型來(lai)描述應(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕失(shi)效的(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)(li)過(guo)程(cheng)(cheng)。由(you)S-R干涉模型的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論可(ke)(ke)以(yi)寫出(chu)結構的(de)(de)(de)(de)(de)極(ji)限狀態方程(cheng)(cheng)

  因此，對于失(shi)效(xiao)概率的(de)(de)研究就轉化(hua)為(wei)對強度和(he)應力由于概率分(fen)布干(gan)涉引起的(de)(de)狀(zhuang)態失(shi)效(xiao)問題的(de)(de)研究。當fs(s)和(he)fR(r)分(fen)別表示(shi)應力和(he)強度的(de)(de)概率密度函數時(shi)，圖中(zhong)兩(liang)者重疊部(bu)分(fen)面積(ji)反映了失(shi)效(xiao)概率的(de)(de)大小，如(ru)圖6-1所(suo)示(shi)。

  假如(ru)最初應(ying)力(li)(li)與強度(du)是(shi)(shi)留有充分(fen)的(de)安全余量的(de)，那么經過一定時間(jian)后，隨著應(ying)力(li)(li)分(fen)布與強度(du)分(fen)布的(de)交疊，就有失效發生，這種情形可以(yi)說是(shi)(shi)耐久模(mo)型(xing)的(de)典型(xing)例(li)子(zi)。根據應(ying)力(li)(li)－強度(du)干涉模(mo)型(xing)不但(dan)能夠(gou)求(qiu)解應(ying)力(li)(li)腐蝕(shi)失效概(gai)率，還可以(yi)分(fen)析(xi)應(ying)力(li)(li)腐蝕(shi)不同(tong)階段(duan)的(de)概(gai)率情況，如(ru)裂紋(wen)的(de)萌(meng)生概(gai)率、裂紋(wen)的(de)擴展(zhan)概(gai)率等。

  當材(cai)料(liao)(liao)發生(sheng)腐蝕(shi)后(hou)，隨(sui)著(zhu)時(shi)(shi)間的(de)推移，材(cai)料(liao)(liao)抵抗破壞的(de)能力(li)降(jiang)低(di)，而腐蝕(shi)環境很(hen)可(ke)(ke)能變(bian)(bian)得(de)更加(jia)苛刻。例如應力(li)腐蝕(shi)，隨(sui)著(zhu)裂紋(wen)的(de)擴展(zhan)，材(cai)料(liao)(liao)強度降(jiang)低(di)、裂紋(wen)尖(jian)端應力(li)集中區(qu)域增(zeng)大，局(ju)部存(cun)在(zai)侵蝕(shi)性離子的(de)富(fu)集，使得(de)廣義(yi)應力(li)變(bian)(bian)大而強度降(jiang)低(di)，此時(shi)(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)(shi)間有關的(de)變(bian)(bian)量，很(hen)顯然，概率密度函數(shu)也(ye)著(zhu)時(shi)(shi)間的(de)變(bian)(bian)化而變(bian)(bian)化。當強度隨(sui)時(shi)(shi)間發生(sheng)衰退時(shi)(shi)，強度和(he)應力(li)組成(cheng)的(de)干涉區(qu)域隨(sui)時(shi)(shi)間變(bian)(bian)化會(hui)越來越大，這意味(wei)著(zhu)產品可(ke)(ke)靠性在(zai)降(jiang)低(di)。

  大多(duo)數(shu)參數(shu)的不確定性與(yu)時(shi)間(jian)有關。發生應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)時(shi)，構(gou)件所(suo)受的廣義應(ying)力(li)一般是隨(sui)機過程，應(ying)力(li)稱為時(shi)間(jian)的函(han)數(shu)，強度(du)為一固(gu)定的臨界值(zhi)，如圖6-2所(suo)示，功能函(han)數(shu)應(ying)表示為

二、應力腐蝕參數的概率分(fen)布估計(ji)

1. 變(bian)量分布(bu)類型確定

  采用(yong)(yong)S-R模(mo)型分(fen)析(xi)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)失效(xiao)概(gai)率時(shi)，第一(yi)(yi)步是(shi)確定(ding)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)的(de)(de)“推動(dong)力(li)”，即S所包含的(de)(de)參數，包括(kuo)溫度(du)(du)、侵蝕(shi)性離子濃度(du)(du)、pH值(zhi)等，分(fen)析(xi)各參數的(de)(de)分(fen)布(bu)(bu)概(gai)型。在進行參數的(de)(de)概(gai)率分(fen)布(bu)(bu)類型研究中(zhong)，一(yi)(yi)般經過(guo)以(yi)下步驟：①. 假設隨機(ji)變量服從某一(yi)(yi)分(fen)布(bu)(bu)；②. 在假設分(fen)布(bu)(bu)基礎上構建統(tong)計(ji)量；③. 根據統(tong)計(ji)量的(de)(de)分(fen)布(bu)(bu)做出統(tong)計(ji)推斷，進行擬(ni)合(he)檢驗(yan)；④. 選擇最優概(gai)型。常用(yong)(yong)的(de)(de)統(tong)計(ji)量包括(kuo)均(jun)值(zhi)、標(biao)準(zhun)差、極差、變異系數、偏度(du)(du)等。正態(tai)分(fen)布(bu)(bu)、威布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)布(bu)(bu)、指數分(fen)布(bu)(bu)以(yi)及Poisson分(fen)布(bu)(bu)等都是(shi)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)概(gai)率分(fen)析(xi)中(zhong)經常用(yong)(yong)到的(de)(de)隨機(ji)變量的(de)(de)概(gai)率分(fen)布(bu)(bu)類型。

通常，直接計算概(gai)率(lv)的密(mi)度函數(shu)難度非常大(da)，常用的處(chu)理方法(fa)是把概(gai)率(lv)密(mi)度估計轉化為參數(shu)估計問題。因(yin)此概(gai)率(lv)密(mi)度函數(shu)的確定(ding)是關鍵，正確的密(mi)度函數(shu)是獲得準確估計值的重要(yao)前提。

2. 參數的估計和假設檢驗

由于正態(tai)(tai)分布(bu)(bu)情況發生的(de)(de)(de)比較多，因此(ci)，以正態(tai)(tai)分布(bu)(bu)為(wei)(wei)例加(jia)以說明。參數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路是采(cai)用(yong)樣本統計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)量(liang)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)總(zong)體參數(shu)。常用(yong)的(de)(de)(de)參數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)方(fang)法(fa)(fa)有(you)矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)和最大(da)（極大(da)）似然(ran)法(fa)(fa)，除此(ci)之外(wai)，還有(you)最小二乘、貝葉斯估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)等方(fang)法(fa)(fa)。矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)不(bu)受(shou)變(bian)量(liang)分布(bu)(bu)的(de)(de)(de)影響(xiang)，這(zhe)也恰恰成(cheng)為(wei)(wei)該方(fang)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)缺點，即(ji)變(bian)量(liang)的(de)(de)(de)分布(bu)(bu)信息不(bu)能(neng)(neng)被(bei)充分利用(yong)，一般具(ju)有(you)多個(ge)分析結(jie)果。與矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)相反，最大(da)似然(ran)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)使用(yong)受(shou)已(yi)知變(bian)量(liang)概型(xing)的(de)(de)(de)影響(xiang)，必須(xu)在已(yi)知概型(xing)的(de)(de)(de)前提(ti)下才能(neng)(neng)使用(yong)，而(er)且假設的(de)(de)(de)概率模型(xing)正確性對參數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)結(jie)果影響(xiang)很(hen)大(da)。最大(da)似然(ran)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)具(ju)有(you)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)算(suan)簡單、收斂(lian)型(xing)好(hao)等特點，在參數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)應用(yong)更加(jia)廣泛(fan)，其(qi)主(zhu)要計(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)算(suan)步驟如下：

  式(shi)（6-10)稱為似然(ran)方程組(zu)，求(qiu)解(jie)該(gai)方程組(zu)，得(de)出均值(zhi)、方差最大(da)似然(ran)估計值(zhi)

  以上過(guo)程(cheng)是(shi)參(can)數(shu)(shu)(shu)估計，下(xia)面對參(can)數(shu)(shu)(shu)假設檢(jian)驗。與參(can)數(shu)(shu)(shu)估計的(de)目的(de)相同，參(can)數(shu)(shu)(shu)假設檢(jian)驗也是(shi)根(gen)據樣本信息對總體的(de)數(shu)(shu)(shu)量(liang)特征進行推斷。

  假(jia)設(she)(she)(she)檢驗(yan)是(shi)以樣本資料對總體的(de)先驗(yan)假(jia)設(she)(she)(she)是(shi)否成(cheng)立(li)，根據樣本的(de)統計(ji)量檢驗(yan)假(jia)設(she)(she)(she)的(de)總體參數(shu)的(de)可靠度，同(tong)時做(zuo)出判斷結(jie)(jie)果，判斷結(jie)(jie)果包括(kuo)接受(shou)和(he)拒絕。分(fen)析(xi)過程是(shi)：①. 提出原(yuan)假(jia)設(she)(she)(she)（要(yao)求檢驗(yan)的(de)假(jia)設(she)(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和(he)備選(xuan)假(jia)設(she)(she)(she)（如果原(yuan)假(jia)設(she)(she)(she)不成(cheng)立(li)，就(jiu)要(yao)接受(shou)另一個假(jia)設(she)(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選(xuan)取(qu)恰當的(de)檢驗(yan)統計(ji)量；③. 計(ji)算觀測值；④. 確(que)定顯著(zhu)性水平；⑤. 依(yi)據檢驗(yan)統計(ji)量觀測值的(de)位(wei)置給(gei)出判斷結(jie)(jie)果。

在以上分析過程中，可能會犯兩類(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)：當H0為真時而拒絕H0,稱為第一(yi)類(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)；當H0為假(jia)時而接(jie)受H0,稱為第二(er)類(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)。犯兩類(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)概率(lv)通常是矛盾的(de)：一(yi)個(ge)概率(lv)小了(le)另(ling)一(yi)個(ge)概率(lv)就大(da)。在實際使(shi)用(yong)中，我們一(yi)般(ban)限定犯第一(yi)類(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)概率(lv)不超過給定的(de)α,使(shi)犯第二(er)類(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)概率(lv)就可能小。在正態總體(ti)參數的(de)假(jia)設檢驗(yan)(yan)中，主要包括均值的(de)U檢驗(yan)(yan)和t檢驗(yan)(yan)、方差的(de)χ2檢驗(yan)(yan)等。

3. 分布的假設檢驗

  上一小節介紹的(de)(de)(de)是(shi)(shi)在總(zong)體(ti)(ti)分(fen)(fen)布已知(zhi)的(de)(de)(de)情(qing)況下(xia)，對分(fen)(fen)布中(zhong)的(de)(de)(de)一些未知(zhi)參數進行(xing)檢(jian)驗(yan)。但是(shi)(shi)，很多(duo)時候并不知(zhi)道總(zong)體(ti)(ti)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布規律，我們往往是(shi)(shi)根(gen)據樣(yang)本來假設總(zong)體(ti)(ti)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布類(lei)型，因此，對于總(zong)體(ti)(ti)樣(yang)本所假設的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布是(shi)(shi)否正確，還需要檢(jian)驗(yan)，常用(yong)的(de)(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)驗(yan)方(fang)法，其(qi)中(zhong)χ2檢(jian)驗(yan)應(ying)用(yong)較多(duo)，下(xia)面以這種方(fang)法為例(li)，介紹檢(jian)驗(yan)過程。

  χ2檢(jian)驗(yan)(yan)法的(de)(de)分析過程是：①. 提出原(yuan)假設(she)(she)；②. 檢(jian)驗(yan)(yan)假設(she)(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)干個(ge)(ge)(ge)互不(bu)(bu)(bu)相交的(de)(de)小區間(jian)把樣本(ben)數(shu)據進行(xing)分組，通(tong)常每個(ge)(ge)(ge)區間(jian)的(de)(de)數(shu)據不(bu)(bu)(bu)少(shao)于5個(ge)(ge)(ge)，若(ruo)不(bu)(bu)(bu)滿足(zu)這一要(yao)求，可以通(tong)過合并區間(jian)來達到這一要(yao)求。假設(she)(she)H0成立，根據分組結(jie)果計(ji)算χ2檢(jian)驗(yan)(yan)統計(ji)量(liang)

4. 主要參數的(de)概率分(fen)布

 根據以上分析(xi)步(bu)驟，對(dui)應(ying)力腐蝕環境中的(de)離子(zi)濃度的(de)統計性進行分析(xi)。數(shu)(shu)據來(lai)自某石化企(qi)業的(de)監(jian)測(ce)數(shu)(shu)據。頻率直方(fang)圖要(yao)將樣本(ben)值(zhi)分為r個不(bu)相交的(de)區間，r值(zhi)可(ke)由 Sturges公式確(que)定，并取整數(shu)(shu)。r值(zhi)取決于(yu)樣本(ben)數(shu)(shu)n。

  首先，假設各參數(shu)服從正(zheng)態分布，并(bing)畫(hua)出正(zheng)態分布的密度函數(shu)曲線(xian)，該(gai)計算采用matlab編程完成，計算結果(guo)如圖6-3所示。

  從圖6-3可(ke)以看出，pH、氯離(li)子濃(nong)度(du)和硫酸根離(li)子濃(nong)度(du)滿(man)足(zu)正(zheng)態分布(bu)，而亞硫酸根離(li)子濃(nong)度(du)不滿(man)足(zu)正(zheng)態分布(bu)，經(jing)過分析，認為滿(man)足(zu)威布(bu)爾分布(bu)，如圖6-4所示。

  經過卡(ka)方檢驗，在(zai)顯著(zhu)性水平0.05下(xia)，可(ke)以認為：

  溫(wen)度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子(zi)濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布(bu)爾分布(bu)。

  亞(ya)硫酸根離子濃度服從威布爾分(fen)布的(de)原(yuan)因：亞(ya)硫酸根不穩定，與氫離子反應，從而(er)濃度逐漸減小(xiao)。

三、失效(xiao)概(gai)率計算(suan)方法

1. 解析法

  當應力和強度(du)(du)是(shi)比較簡單的(de)(de)變量(liang)時(shi)，式（6-4)可以直接計算失效概(gai)(gai)率。在一些研究中，會出(chu)現(xian)“干涉面(mian)積(ji)＝失效概(gai)(gai)率”的(de)(de)說法，這種說法是(shi)不(bu)正確的(de)(de)。根(gen)據(ju)可靠(kao)性理論可知，應力－強度(du)(du)模(mo)型中強度(du)(du)大于應力的(de)(de)概(gai)(gai)率即為可靠(kao)度(du)(du)。可靠(kao)度(du)(du)P可根(gen)據(ju)下式計算

  從計算結果可以看出，失(shi)效概率遠小于干(gan)涉面積(ji)之和(he)。

2. 數(shu)值解析法

  當隨(sui)機(ji)變量較多時，直(zhi)接求(qiu)解(jie)(jie)失效概率(lv)值(zhi)是很困難(nan)的(de)，采用數(shu)值(zhi)求(qiu)解(jie)(jie)是一種(zhong)比較好的(de)解(jie)(jie)決方法(fa)(fa)。在應力腐(fu)蝕概率(lv)計算中，涉(she)及的(de)隨(sui)機(ji)變量較多且具有(you)不同的(de)分(fen)布類型，結果(guo)難(nan)以(yi)用解(jie)(jie)析法(fa)(fa)和近似(si)法(fa)(fa)求(qiu)解(jie)(jie)，可以(yi)采用蒙(meng)特卡洛（Monte-Carlo)模擬(ni)法(fa)(fa)。Monte-Carlo模擬(ni)法(fa)(fa)的(de)特點是：①. 受(shou)(shou)研究問題維(wei)數(shu)的(de)影(ying)響較小；②. 不受(shou)(shou)假設(she)約束；③. 不存在狀態(tai)空間爆炸(zha)問題；④. 不受(shou)(shou)變量數(shu)量的(de)影(ying)響。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)是一種(zhong)處理高維(wei)動態(tai)失效概率(lv)問題的(de)方法(fa)(fa)。

  蒙(meng)特卡洛模擬法(fa)又(you)稱為隨機模擬法(fa)，基(ji)本思想是：