隨機變量模型和隨機過(guo)程(cheng)模型是研究香蕉視頻app下載蘋果版:應力腐蝕概率(lv)的(de)常(chang)用(yong)模型，本章重點介紹隨機變量模型。

一、應力-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提(ti)出了(le)(le)(le)采用應(ying)力(li)、強(qiang)(qiang)度分(fen)布函數曲線(xian)的(de)(de)干(gan)涉(she)(she)區面積分(fen)析失(shi)效(xiao)(xiao)概率的(de)(de)方法，即(ji)應(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度干(gan)涉(she)(she)模型，該(gai)模型在(zai)構(gou)件(jian)和(he)系統的(de)(de)可靠性分(fen)析中得到了(le)(le)(le)廣(guang)泛應(ying)用。目前，已成為分(fen)析構(gou)件(jian)和(he)系統失(shi)效(xiao)(xiao)概率的(de)(de)重要模型之一。在(zai)結構(gou)可靠性分(fen)析中，應(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度（S-R)干(gan)涉(she)(she)模型應(ying)用最廣(guang)，模型中的(de)(de)S和(he)R的(de)(de)含(han)義不僅僅是(shi)力(li)學分(fen)析中的(de)(de)應(ying)力(li)和(he)強(qiang)(qiang)度，二(er)者(zhe)具有更(geng)廣(guang)泛的(de)(de)范疇。對于一個系統而言，S指的(de)(de)是(shi)造成結構(gou)破壞的(de)(de)所有因素(su)，即(ji)推(tui)動力(li)；R代表了(le)(le)(le)結構(gou)抵抗(kang)破壞的(de)(de)能(neng)力(li)，即(ji)阻抗(kang)力(li)。

  應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)是(shi)一種(zhong)低(di)(di)應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)脆斷(duan)(duan)(duan)(duan)，是(shi)斷(duan)(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)和(he)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)兩(liang)種(zhong)機理(li)相(xiang)互影響的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結果。因此，當應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)還遠(yuan)低(di)(di)于斷(duan)(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)時(shi)就能(neng)引起(qi)應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)裂(lie)(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)產生(sheng)和(he)擴展(zhan)。應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)作(zuo)用(yong)降(jiang)低(di)(di)了(le)材(cai)(cai)料的(de)(de)(de)(de)(de)(de)耐腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)性能(neng)，而腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)降(jiang)低(di)(di)了(le)材(cai)(cai)料的(de)(de)(de)(de)(de)(de)斷(duan)(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)強度，兩(liang)者是(shi)互相(xiang)促進的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。也(ye)就是(shi)說，機械(xie)力(li)(li)和(he)化學力(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)協同作(zuo)用(yong)導致了(le)裂(lie)(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)擴展(zhan)，如果只有(you)應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)或腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)單獨作(zuo)用(yong)，是(shi)不會出(chu)(chu)現應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結果。應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)(duan)裂(lie)(lie)要(yao)(yao)經過一定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)間才能(neng)發生(sheng)，這(zhe)是(shi)因為能(neng)量積蓄到(dao)使材(cai)(cai)料破壞的(de)(de)(de)(de)(de)(de)程(cheng)度是(shi)需要(yao)(yao)時(shi)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)是(shi)使材(cai)(cai)料強度逐(zhu)漸退化的(de)(de)(de)(de)(de)(de)過程(cheng)，因此，我們可(ke)以(yi)采(cai)用(yong)耐久性損傷模(mo)型(xing)來描述應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)失效(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)過程(cheng)。由S-R干涉模(mo)型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)可(ke)以(yi)寫出(chu)(chu)結構的(de)(de)(de)(de)(de)(de)極限狀態方(fang)程(cheng)

  因此，對于(yu)失效概(gai)率的(de)(de)研究就轉化為(wei)對強度和(he)應力由于(yu)概(gai)率分(fen)布(bu)干涉引起的(de)(de)狀態失效問題的(de)(de)研究。當(dang)fs(s)和(he)fR(r)分(fen)別表示(shi)應力和(he)強度的(de)(de)概(gai)率密(mi)度函(han)數時，圖(tu)中兩(liang)者重疊(die)部分(fen)面積反映了失效概(gai)率的(de)(de)大(da)小，如(ru)圖(tu)6-1所示(shi)。

  假如最初應力(li)(li)(li)(li)與(yu)強(qiang)度(du)是(shi)留有(you)充(chong)分(fen)的(de)(de)安全余(yu)量的(de)(de)，那么經過一定時間后，隨著應力(li)(li)(li)(li)分(fen)布與(yu)強(qiang)度(du)分(fen)布的(de)(de)交疊(die)，就有(you)失效(xiao)發生(sheng)(sheng)，這種情(qing)形可(ke)以說(shuo)是(shi)耐(nai)久(jiu)模型(xing)(xing)的(de)(de)典型(xing)(xing)例子。根(gen)據(ju)應力(li)(li)(li)(li)－強(qiang)度(du)干涉模型(xing)(xing)不但(dan)能夠(gou)求解應力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)失效(xiao)概(gai)率(lv)，還可(ke)以分(fen)析(xi)應力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)不同階段(duan)的(de)(de)概(gai)率(lv)情(qing)況(kuang)，如裂(lie)紋的(de)(de)萌生(sheng)(sheng)概(gai)率(lv)、裂(lie)紋的(de)(de)擴(kuo)展概(gai)率(lv)等。

  當(dang)材料(liao)發(fa)生腐蝕后，隨(sui)(sui)著時間(jian)(jian)的推移，材料(liao)抵抗破壞的能力降低(di)，而腐蝕環境(jing)很可(ke)能變(bian)得更加苛刻(ke)。例如應力腐蝕，隨(sui)(sui)著裂紋(wen)的擴(kuo)展(zhan)，材料(liao)強(qiang)度(du)(du)降低(di)、裂紋(wen)尖端應力集中區域增大(da)(da)，局部存(cun)在(zai)侵蝕性(xing)離子(zi)的富集，使(shi)得廣(guang)義應力變(bian)大(da)(da)而強(qiang)度(du)(du)降低(di)，此時S(t)和R(t)都是與時間(jian)(jian)有(you)關的變(bian)量，很顯然，概率(lv)密度(du)(du)函數也著時間(jian)(jian)的變(bian)化(hua)(hua)而變(bian)化(hua)(hua)。當(dang)強(qiang)度(du)(du)隨(sui)(sui)時間(jian)(jian)發(fa)生衰退時，強(qiang)度(du)(du)和應力組(zu)成的干涉區域隨(sui)(sui)時間(jian)(jian)變(bian)化(hua)(hua)會越來越大(da)(da)，這意味著產品可(ke)靠(kao)性(xing)在(zai)降低(di)。

  大多數(shu)(shu)(shu)參數(shu)(shu)(shu)的不確定性(xing)與時(shi)間有(you)關。發生應力腐(fu)蝕時(shi)，構件(jian)所受(shou)的廣義應力一(yi)般是隨(sui)機過程(cheng)，應力稱(cheng)為(wei)時(shi)間的函數(shu)(shu)(shu)，強度(du)為(wei)一(yi)固定的臨界值，如(ru)圖6-2所示，功(gong)能函數(shu)(shu)(shu)應表示為(wei)

二、應力腐蝕(shi)參(can)數的概率分(fen)布(bu)估計

1. 變量分布類型確定

  采用S-R模(mo)型(xing)分(fen)(fen)(fen)(fen)析(xi)應(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)失效概(gai)(gai)率(lv)(lv)時，第一(yi)步是確定(ding)應(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)的“推動力”，即S所包(bao)含的參數(shu)，包(bao)括(kuo)(kuo)溫(wen)度(du)、侵蝕(shi)(shi)性離子濃度(du)、pH值等，分(fen)(fen)(fen)(fen)析(xi)各(ge)參數(shu)的分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)概(gai)(gai)型(xing)。在進行參數(shu)的概(gai)(gai)率(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類型(xing)研究中，一(yi)般經過以(yi)下步驟(zou)：①. 假設隨機變(bian)量(liang)服從(cong)某(mou)一(yi)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)；②. 在假設分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)基礎(chu)上構建統計(ji)量(liang)；③. 根(gen)據統計(ji)量(liang)的分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)做出統計(ji)推斷，進行擬合(he)檢(jian)驗(yan)；④. 選擇最優概(gai)(gai)型(xing)。常用的統計(ji)量(liang)包(bao)括(kuo)(kuo)均值、標準差(cha)、極差(cha)、變(bian)異系數(shu)、偏度(du)等。正態分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、威(wei)布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、指數(shu)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)以(yi)及Poisson分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)等都(dou)是應(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)概(gai)(gai)率(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)析(xi)中經常用到的隨機變(bian)量(liang)的概(gai)(gai)率(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類型(xing)。

通(tong)常(chang)(chang)，直接(jie)計(ji)算(suan)概率(lv)的密度(du)函數難度(du)非常(chang)(chang)大，常(chang)(chang)用(yong)的處理方法是把概率(lv)密度(du)估(gu)(gu)計(ji)轉(zhuan)化為參數估(gu)(gu)計(ji)問題(ti)。因此概率(lv)密度(du)函數的確(que)定是關(guan)鍵，正(zheng)確(que)的密度(du)函數是獲得準確(que)估(gu)(gu)計(ji)值的重要前提。

2. 參數(shu)的估計和假設檢驗

由于(yu)正(zheng)態分(fen)(fen)(fen)布(bu)情(qing)況發生(sheng)的(de)(de)比較(jiao)多，因此，以(yi)正(zheng)態分(fen)(fen)(fen)布(bu)為例(li)加以(yi)說(shuo)明。參(can)(can)(can)數(shu)估(gu)計的(de)(de)思(si)路是采(cai)用樣本統計量估(gu)計總(zong)體參(can)(can)(can)數(shu)。常用的(de)(de)參(can)(can)(can)數(shu)估(gu)計方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)有(you)(you)矩(ju)(ju)(ju)估(gu)計法(fa)(fa)(fa)(fa)和最(zui)(zui)大（極大）似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)，除(chu)此之外(wai)，還有(you)(you)最(zui)(zui)小二(er)乘、貝(bei)葉斯估(gu)計等(deng)方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)。矩(ju)(ju)(ju)估(gu)計法(fa)(fa)(fa)(fa)不受變(bian)量分(fen)(fen)(fen)布(bu)的(de)(de)影響，這也恰恰成為該方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)缺(que)點，即(ji)變(bian)量的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)信(xin)息不能被充分(fen)(fen)(fen)利用，一(yi)般(ban)具(ju)有(you)(you)多個分(fen)(fen)(fen)析結果(guo)。與矩(ju)(ju)(ju)估(gu)計法(fa)(fa)(fa)(fa)相反，最(zui)(zui)大似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)使(shi)用受已知變(bian)量概型的(de)(de)影響，必(bi)須在已知概型的(de)(de)前提下(xia)才能使(shi)用，而且假設(she)的(de)(de)概率(lv)模(mo)型正(zheng)確性對參(can)(can)(can)數(shu)估(gu)計結果(guo)影響很大。最(zui)(zui)大似(si)然(ran)估(gu)計法(fa)(fa)(fa)(fa)具(ju)有(you)(you)計算簡單、收斂型好等(deng)特點，在參(can)(can)(can)數(shu)估(gu)計中(zhong)的(de)(de)應用更(geng)加廣泛，其主要計算步驟如下(xia)：

  式（6-10)稱為似然方程(cheng)組(zu)，求(qiu)解該(gai)方程(cheng)組(zu)，得出(chu)均(jun)值(zhi)、方差最大(da)似然估(gu)計值(zhi)

  以上(shang)過(guo)程是(shi)參數估計，下面(mian)對參數假設檢驗。與(yu)參數估計的目(mu)的相同，參數假設檢驗也是(shi)根(gen)據(ju)樣本信息對總體的數量特征(zheng)進行(xing)推斷。

  假(jia)設(she)(she)檢(jian)驗(yan)是以樣本(ben)資料對總體(ti)的(de)先(xian)驗(yan)假(jia)設(she)(she)是否成立，根(gen)據樣本(ben)的(de)統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)檢(jian)驗(yan)假(jia)設(she)(she)的(de)總體(ti)參數的(de)可靠度，同時做(zuo)出判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)，判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)包(bao)括接受(shou)和拒絕(jue)。分析過(guo)程是：①. 提出原假(jia)設(she)(she)（要求檢(jian)驗(yan)的(de)假(jia)設(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)設(she)(she)（如(ru)果(guo)(guo)原假(jia)設(she)(she)不成立，就(jiu)要接受(shou)另一個假(jia)設(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)檢(jian)驗(yan)統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)；③. 計(ji)(ji)算觀(guan)測(ce)值；④. 確定顯(xian)著性水(shui)平；⑤. 依據檢(jian)驗(yan)統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)觀(guan)測(ce)值的(de)位置(zhi)給出判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)。

在(zai)(zai)以上分析(xi)過(guo)程中(zhong)(zhong)，可能會犯兩(liang)類(lei)錯誤：當(dang)H0為(wei)(wei)真時而(er)拒絕(jue)H0,稱為(wei)(wei)第(di)一(yi)(yi)類(lei)錯誤；當(dang)H0為(wei)(wei)假時而(er)接受H0,稱為(wei)(wei)第(di)二類(lei)錯誤。犯兩(liang)類(lei)錯誤的(de)(de)概(gai)率(lv)通常是(shi)矛(mao)盾的(de)(de)：一(yi)(yi)個(ge)概(gai)率(lv)小了另(ling)一(yi)(yi)個(ge)概(gai)率(lv)就(jiu)大。在(zai)(zai)實(shi)際使用中(zhong)(zhong)，我(wo)們一(yi)(yi)般限定(ding)犯第(di)一(yi)(yi)類(lei)錯誤的(de)(de)概(gai)率(lv)不超(chao)過(guo)給(gei)定(ding)的(de)(de)α,使犯第(di)二類(lei)錯誤的(de)(de)概(gai)率(lv)就(jiu)可能小。在(zai)(zai)正態總體參(can)數的(de)(de)假設檢驗(yan)中(zhong)(zhong)，主要包(bao)括均值的(de)(de)U檢驗(yan)和t檢驗(yan)、方差的(de)(de)χ2檢驗(yan)等。

3. 分布的假(jia)設(she)檢驗

  上一小節介紹(shao)的(de)(de)是在總(zong)體(ti)分布(bu)(bu)(bu)(bu)已知(zhi)的(de)(de)情況(kuang)下，對分布(bu)(bu)(bu)(bu)中的(de)(de)一些未(wei)知(zhi)參數進行(xing)檢驗。但是，很多時候并不知(zhi)道(dao)總(zong)體(ti)的(de)(de)分布(bu)(bu)(bu)(bu)規(gui)律，我(wo)們往往是根據樣(yang)本(ben)來(lai)假(jia)設總(zong)體(ti)的(de)(de)分布(bu)(bu)(bu)(bu)類型，因此，對于總(zong)體(ti)樣(yang)本(ben)所假(jia)設的(de)(de)分布(bu)(bu)(bu)(bu)是否正確，還需要檢驗，常用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等(deng)檢驗方(fang)法，其(qi)中χ2檢驗應用較多，下面(mian)以這種方(fang)法為(wei)例，介紹(shao)檢驗過程。

  χ2檢(jian)驗法的(de)分析過程是：①. 提出原假(jia)(jia)設；②. 檢(jian)驗假(jia)(jia)設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個互不相交的(de)小區(qu)間(jian)(jian)把(ba)樣本數據(ju)進行分組，通常每個區(qu)間(jian)(jian)的(de)數據(ju)不少于(yu)5個，若不滿足這(zhe)一要求(qiu)，可以通過合并(bing)區(qu)間(jian)(jian)來達(da)到這(zhe)一要求(qiu)。假(jia)(jia)設H0成立，根據(ju)分組結果計(ji)算(suan)χ2檢(jian)驗統計(ji)量

4. 主要(yao)參數的概(gai)率分布

 根據以上分(fen)析步驟，對(dui)應力腐蝕(shi)環境中(zhong)的離子濃(nong)度(du)的統計(ji)性進行分(fen)析。數據來自某(mou)石化企業的監測數據。頻率直方圖要將樣本(ben)值分(fen)為r個不(bu)相交的區間，r值可(ke)由 Sturges公式確定，并取整數。r值取決于樣本(ben)數n。

  首先，假設各參數服從正態分布，并畫出正態分布的(de)密度函數曲(qu)線，該計(ji)算(suan)采用matlab編程完成(cheng)，計(ji)算(suan)結果(guo)如圖6-3所(suo)示。

  從圖6-3可以看(kan)出，pH、氯(lv)離子濃度(du)和(he)硫酸(suan)根離子濃度(du)滿足(zu)正(zheng)態分布，而亞硫酸(suan)根離子濃度(du)不滿足(zu)正(zheng)態分布，經過(guo)分析，認為滿足(zu)威布爾分布，如圖6-4所示。

  經過卡方檢驗，在顯著性水平0.05下(xia)，可以認為(wei)：

  溫度(du)服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服(fu)從N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度服(fu)從(cong)N(35.3481,17.57352);

  亞硫(liu)酸根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威(wei)布爾分布。

  亞硫酸根離子(zi)濃度服(fu)從(cong)(cong)威布(bu)爾分布(bu)的原因：亞硫酸根不穩(wen)定，與氫離子(zi)反應，從(cong)(cong)而濃度逐漸減小。

三、失效概率(lv)計(ji)算方(fang)法

1. 解析法

  當應(ying)力(li)和強(qiang)(qiang)度(du)是(shi)比較簡(jian)單(dan)的變量時，式（6-4)可(ke)(ke)以直接計算失效概率。在一(yi)些研(yan)究中(zhong)，會出(chu)現“干涉面積＝失效概率”的說法(fa)，這種說法(fa)是(shi)不正確(que)的。根(gen)據可(ke)(ke)靠(kao)(kao)(kao)性理論可(ke)(ke)知(zhi)，應(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度(du)模型(xing)中(zhong)強(qiang)(qiang)度(du)大(da)于應(ying)力(li)的概率即為(wei)可(ke)(ke)靠(kao)(kao)(kao)度(du)。可(ke)(ke)靠(kao)(kao)(kao)度(du)P可(ke)(ke)根(gen)據下式計算

  從(cong)計算結果(guo)可(ke)以看出，失效(xiao)概率遠小于干涉面積之和(he)。

2. 數值(zhi)解析(xi)法

  當隨(sui)機變量(liang)較(jiao)(jiao)多時，直接求(qiu)解(jie)(jie)失(shi)效(xiao)概率(lv)(lv)值是很困難的(de)(de)，采用(yong)數(shu)值求(qiu)解(jie)(jie)是一種比(bi)較(jiao)(jiao)好的(de)(de)解(jie)(jie)決方(fang)法(fa)。在應力腐蝕概率(lv)(lv)計算(suan)中，涉及的(de)(de)隨(sui)機變量(liang)較(jiao)(jiao)多且具有不(bu)同的(de)(de)分布類型，結果(guo)難以用(yong)解(jie)(jie)析(xi)法(fa)和近似法(fa)求(qiu)解(jie)(jie)，可以采用(yong)蒙特卡洛（Monte-Carlo)模(mo)擬法(fa)。Monte-Carlo模(mo)擬法(fa)的(de)(de)特點(dian)是：①. 受研究問題(ti)維數(shu)的(de)(de)影響較(jiao)(jiao)小；②. 不(bu)受假設約束；③. 不(bu)存(cun)在狀態(tai)空間(jian)爆炸(zha)問題(ti)；④. 不(bu)受變量(liang)數(shu)量(liang)的(de)(de)影響。因此(ci)，Monte-Carlo法(fa)是一種處理高維動態(tai)失(shi)效(xiao)概率(lv)(lv)問題(ti)的(de)(de)方(fang)法(fa)。

  蒙(meng)特(te)卡洛模擬(ni)法(fa)又稱為(wei)隨(sui)機模擬(ni)法(fa)，基本思想是：