隨機(ji)變(bian)量模型(xing)(xing)和隨機(ji)過程模型(xing)(xing)是研究香蕉視頻app下載蘋果版:應力腐蝕概率的常用(yong)模(mo)型(xing)，本章重點介紹(shao)隨(sui)機變量(liang)模(mo)型(xing)。

一、應力(li)-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提(ti)出了(le)采用應(ying)力、強(qiang)度(du)分(fen)(fen)布函數曲線的干涉(she)(she)區(qu)面(mian)積分(fen)(fen)析(xi)(xi)失效概率(lv)的方法，即(ji)應(ying)力－強(qiang)度(du)干涉(she)(she)模型，該模型在構件和(he)系統的可(ke)(ke)靠(kao)性分(fen)(fen)析(xi)(xi)中得到了(le)廣泛(fan)應(ying)用。目前，已成為(wei)分(fen)(fen)析(xi)(xi)構件和(he)系統失效概率(lv)的重要模型之一。在結構可(ke)(ke)靠(kao)性分(fen)(fen)析(xi)(xi)中，應(ying)力－強(qiang)度(du)（S-R)干涉(she)(she)模型應(ying)用最廣，模型中的S和(he)R的含義(yi)不僅僅是力學(xue)分(fen)(fen)析(xi)(xi)中的應(ying)力和(he)強(qiang)度(du)，二者具有更廣泛(fan)的范疇。對于一個系統而言(yan)，S指(zhi)的是造成結構破壞(huai)的所有因素，即(ji)推動力；R代表(biao)了(le)結構抵抗破壞(huai)的能力，即(ji)阻抗力。

  應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)斷裂(lie)是(shi)(shi)(shi)一(yi)種低(di)(di)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)脆斷，是(shi)(shi)(shi)斷裂(lie)和腐(fu)蝕(shi)(shi)兩(liang)種機理(li)相互影響的(de)(de)(de)結果(guo)(guo)。因此(ci)，當應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)還(huan)遠低(di)(di)于斷裂(lie)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)時就能(neng)引(yin)起應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)裂(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)產生(sheng)和擴展。應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)作用(yong)降(jiang)低(di)(di)了材(cai)料(liao)的(de)(de)(de)耐腐(fu)蝕(shi)(shi)性能(neng)，而腐(fu)蝕(shi)(shi)降(jiang)低(di)(di)了材(cai)料(liao)的(de)(de)(de)斷裂(lie)強度，兩(liang)者(zhe)是(shi)(shi)(shi)互相促進(jin)的(de)(de)(de)。也就是(shi)(shi)(shi)說(shuo)，機械力(li)(li)和化(hua)學力(li)(li)的(de)(de)(de)協同作用(yong)導致了裂(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)擴展，如果(guo)(guo)只有應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)或(huo)腐(fu)蝕(shi)(shi)單(dan)獨作用(yong)，是(shi)(shi)(shi)不會(hui)出(chu)(chu)現應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)斷裂(lie)的(de)(de)(de)結果(guo)(guo)。應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)斷裂(lie)要經過(guo)一(yi)定(ding)的(de)(de)(de)時間(jian)才能(neng)發生(sheng)，這是(shi)(shi)(shi)因為能(neng)量積蓄(xu)到使(shi)材(cai)料(liao)破壞的(de)(de)(de)程(cheng)度是(shi)(shi)(shi)需要時間(jian)的(de)(de)(de)，應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)是(shi)(shi)(shi)使(shi)材(cai)料(liao)強度逐(zhu)漸退化(hua)的(de)(de)(de)過(guo)程(cheng)，因此(ci)，我們可以采用(yong)耐久性損傷模(mo)型(xing)來(lai)描述應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)失(shi)效(xiao)的(de)(de)(de)物理(li)過(guo)程(cheng)。由S-R干涉(she)模(mo)型(xing)的(de)(de)(de)理(li)論可以寫出(chu)(chu)結構的(de)(de)(de)極(ji)限狀態方程(cheng)

  因此，對(dui)于失效(xiao)(xiao)概率的研究就轉化為對(dui)強度(du)和應力由于概率分布干涉引起的狀態失效(xiao)(xiao)問題的研究。當fs(s)和fR(r)分別表示應力和強度(du)的概率密度(du)函(han)數時，圖中兩者重疊(die)部分面積反映了失效(xiao)(xiao)概率的大小(xiao)，如圖6-1所(suo)示。

  假如最初應(ying)(ying)(ying)(ying)力與強(qiang)(qiang)度(du)(du)(du)是留有(you)充分(fen)(fen)的(de)安(an)全(quan)余量的(de)，那(nei)么經過一定時間(jian)后，隨著(zhu)應(ying)(ying)(ying)(ying)力分(fen)(fen)布(bu)與強(qiang)(qiang)度(du)(du)(du)分(fen)(fen)布(bu)的(de)交疊(die)，就有(you)失(shi)效(xiao)發生(sheng)，這種情形可以(yi)說(shuo)是耐久(jiu)模型的(de)典型例子。根據(ju)應(ying)(ying)(ying)(ying)力－強(qiang)(qiang)度(du)(du)(du)干涉(she)模型不但(dan)能夠(gou)求解(jie)應(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕失(shi)效(xiao)概(gai)率，還可以(yi)分(fen)(fen)析應(ying)(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕不同階段的(de)概(gai)率情況(kuang)，如裂(lie)紋(wen)的(de)萌生(sheng)概(gai)率、裂(lie)紋(wen)的(de)擴展概(gai)率等。

  當材料發(fa)生腐蝕(shi)(shi)后(hou)，隨著時(shi)間(jian)(jian)的(de)推移，材料抵抗(kang)破(po)壞的(de)能(neng)力(li)降低(di)，而(er)腐蝕(shi)(shi)環境很(hen)可能(neng)變(bian)得更加苛刻。例如應(ying)(ying)力(li)腐蝕(shi)(shi)，隨著裂紋(wen)的(de)擴展(zhan)，材料強(qiang)度(du)(du)降低(di)、裂紋(wen)尖端應(ying)(ying)力(li)集中區域(yu)增(zeng)大，局部存在侵蝕(shi)(shi)性離子的(de)富(fu)集，使得廣義應(ying)(ying)力(li)變(bian)大而(er)強(qiang)度(du)(du)降低(di)，此時(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)間(jian)(jian)有關的(de)變(bian)量，很(hen)顯然，概(gai)率密度(du)(du)函數也著時(shi)間(jian)(jian)的(de)變(bian)化而(er)變(bian)化。當強(qiang)度(du)(du)隨時(shi)間(jian)(jian)發(fa)生衰退時(shi)，強(qiang)度(du)(du)和(he)應(ying)(ying)力(li)組成的(de)干(gan)涉(she)區域(yu)隨時(shi)間(jian)(jian)變(bian)化會(hui)越來越大，這意味著產(chan)品可靠性在降低(di)。

  大多數參數的不確定性(xing)與時(shi)間(jian)有(you)關。發生應力腐蝕時(shi)，構件(jian)所(suo)受的廣義應力一般是隨機過程，應力稱為(wei)時(shi)間(jian)的函(han)數，強度(du)為(wei)一固定的臨界值，如圖6-2所(suo)示，功能函(han)數應表示為(wei)

二、應力腐蝕參數的概率分布估計

1. 變(bian)量分布類(lei)型確定

  采用(yong)S-R模(mo)型(xing)分(fen)(fen)(fen)(fen)析應(ying)力腐蝕失效概率(lv)(lv)時，第一步(bu)是確定應(ying)力腐蝕的(de)(de)“推動力”，即S所包(bao)(bao)含的(de)(de)參數(shu)，包(bao)(bao)括(kuo)(kuo)溫(wen)度(du)(du)、侵蝕性離子濃度(du)(du)、pH值(zhi)(zhi)等，分(fen)(fen)(fen)(fen)析各(ge)參數(shu)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)概型(xing)。在進(jin)行參數(shu)的(de)(de)概率(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)類(lei)型(xing)研究中，一般經過以下步(bu)驟：①. 假設(she)隨機(ji)變量(liang)服從某一分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)；②. 在假設(she)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)基礎上構建統計量(liang)；③. 根據統計量(liang)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)做出統計推斷(duan)，進(jin)行擬合檢驗(yan)；④. 選(xuan)擇最優(you)概型(xing)。常(chang)用(yong)的(de)(de)統計量(liang)包(bao)(bao)括(kuo)(kuo)均值(zhi)(zhi)、標準差、極差、變異系數(shu)、偏(pian)度(du)(du)等。正(zheng)態分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)、威布(bu)(bu)(bu)爾(er)（Weibull)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)、指數(shu)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)以及Poisson分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)等都是應(ying)力腐蝕概率(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)析中經常(chang)用(yong)到的(de)(de)隨機(ji)變量(liang)的(de)(de)概率(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)類(lei)型(xing)。

通常，直接計(ji)(ji)算概(gai)率的密度(du)(du)函數(shu)難度(du)(du)非常大，常用的處理方法是(shi)把概(gai)率密度(du)(du)估計(ji)(ji)轉化為參數(shu)估計(ji)(ji)問題。因此(ci)概(gai)率密度(du)(du)函數(shu)的確定是(shi)關鍵，正確的密度(du)(du)函數(shu)是(shi)獲得(de)準確估計(ji)(ji)值的重(zhong)要前提(ti)。

2. 參數的估計和假設(she)檢驗(yan)

由于(yu)正態分布(bu)(bu)情況(kuang)發(fa)生的(de)(de)(de)(de)比(bi)較(jiao)多(duo)，因此，以(yi)正態分布(bu)(bu)為例(li)加以(yi)說明。參數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)思路是采用樣本統計(ji)(ji)(ji)(ji)量(liang)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)總體參數(shu)。常用的(de)(de)(de)(de)參數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)(fa)(fa)有(you)(you)矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)和最大（極大）似然(ran)(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)，除此之外，還有(you)(you)最小二(er)乘、貝葉(xie)斯估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)等方法(fa)(fa)(fa)(fa)。矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)不(bu)受(shou)變量(liang)分布(bu)(bu)的(de)(de)(de)(de)影響，這也恰恰成(cheng)為該方法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)缺點，即變量(liang)的(de)(de)(de)(de)分布(bu)(bu)信(xin)息不(bu)能被充(chong)分利用，一般(ban)具有(you)(you)多(duo)個分析結果(guo)。與矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)相(xiang)反(fan)，最大似然(ran)(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)使(shi)用受(shou)已知(zhi)變量(liang)概型的(de)(de)(de)(de)影響，必須在已知(zhi)概型的(de)(de)(de)(de)前提下(xia)才能使(shi)用，而且假設的(de)(de)(de)(de)概率模型正確性對(dui)參數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)結果(guo)影響很大。最大似然(ran)(ran)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)具有(you)(you)計(ji)(ji)(ji)(ji)算簡(jian)單、收斂型好等特點，在參數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)應用更加廣泛，其主要計(ji)(ji)(ji)(ji)算步(bu)驟(zou)如下(xia)：

  式(shi)（6-10)稱為似然方程(cheng)(cheng)組(zu)，求解(jie)該(gai)方程(cheng)(cheng)組(zu)，得(de)出均值、方差最大似然估計(ji)值

  以上過程是參(can)數估計(ji)，下面對(dui)參(can)數假(jia)設檢驗。與參(can)數估計(ji)的(de)(de)目的(de)(de)相同(tong)，參(can)數假(jia)設檢驗也是根據樣本信息對(dui)總體的(de)(de)數量特征進行推斷。

  假設(she)檢(jian)驗(yan)(yan)是(shi)以樣本資料對總體(ti)的(de)先驗(yan)(yan)假設(she)是(shi)否(fou)成(cheng)立，根(gen)據(ju)樣本的(de)統計(ji)(ji)(ji)量檢(jian)驗(yan)(yan)假設(she)的(de)總體(ti)參數的(de)可靠度，同時做出(chu)判斷結(jie)果，判斷結(jie)果包括接受和拒絕。分析過(guo)程是(shi)：①. 提(ti)出(chu)原(yuan)假設(she)（要求檢(jian)驗(yan)(yan)的(de)假設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假設(she)（如果原(yuan)假設(she)不成(cheng)立，就要接受另一個假設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)檢(jian)驗(yan)(yan)統計(ji)(ji)(ji)量；③. 計(ji)(ji)(ji)算觀測(ce)值(zhi)；④. 確定(ding)顯著性水平；⑤. 依(yi)據(ju)檢(jian)驗(yan)(yan)統計(ji)(ji)(ji)量觀測(ce)值(zhi)的(de)位置給出(chu)判斷結(jie)果。

在(zai)以(yi)上分析(xi)過程中，可(ke)(ke)能會犯(fan)兩(liang)類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤(wu)：當(dang)H0為(wei)(wei)真時(shi)而(er)拒絕H0,稱(cheng)為(wei)(wei)第一(yi)(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤(wu)；當(dang)H0為(wei)(wei)假時(shi)而(er)接受(shou)H0,稱(cheng)為(wei)(wei)第二類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤(wu)。犯(fan)兩(liang)類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤(wu)的(de)概(gai)(gai)率(lv)通(tong)常(chang)是矛盾(dun)的(de)：一(yi)(yi)個概(gai)(gai)率(lv)小(xiao)(xiao)了另一(yi)(yi)個概(gai)(gai)率(lv)就(jiu)大。在(zai)實際使(shi)用中，我(wo)們一(yi)(yi)般限定犯(fan)第一(yi)(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤(wu)的(de)概(gai)(gai)率(lv)不超過給(gei)定的(de)α,使(shi)犯(fan)第二類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤(wu)的(de)概(gai)(gai)率(lv)就(jiu)可(ke)(ke)能小(xiao)(xiao)。在(zai)正態總體參數的(de)假設檢(jian)驗(yan)中，主要包括均值的(de)U檢(jian)驗(yan)和t檢(jian)驗(yan)、方差的(de)χ2檢(jian)驗(yan)等。

3. 分布(bu)的假設檢驗

  上一小節介紹的(de)(de)是(shi)(shi)在(zai)總(zong)(zong)體(ti)分(fen)布(bu)已(yi)知(zhi)的(de)(de)情況下(xia)，對(dui)分(fen)布(bu)中的(de)(de)一些未(wei)知(zhi)參數進行檢驗(yan)。但是(shi)(shi)，很多時候并不知(zhi)道總(zong)(zong)體(ti)的(de)(de)分(fen)布(bu)規律(lv)，我們往(wang)往(wang)是(shi)(shi)根據樣本來假(jia)設總(zong)(zong)體(ti)的(de)(de)分(fen)布(bu)類型，因此(ci)，對(dui)于(yu)總(zong)(zong)體(ti)樣本所假(jia)設的(de)(de)分(fen)布(bu)是(shi)(shi)否正確(que)，還需(xu)要檢驗(yan)，常用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗(yan)方法(fa)(fa)，其中χ2檢驗(yan)應用較多，下(xia)面以這種方法(fa)(fa)為例，介紹檢驗(yan)過程。

  χ2檢(jian)驗法的分析過程是：①. 提出原假設；②. 檢(jian)驗假設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先(xian)用(yong)若干(gan)個互不(bu)相交的小(xiao)區間把樣本數據進行分組，通(tong)常每個區間的數據不(bu)少于5個，若不(bu)滿(man)足(zu)這一(yi)(yi)要(yao)(yao)求，可以通(tong)過合并(bing)區間來達到這一(yi)(yi)要(yao)(yao)求。假設H0成立，根據分組結果計算χ2檢(jian)驗統計量

4. 主要參數的概率分布

 根(gen)據以(yi)上分析(xi)步驟，對應力腐蝕環境中的(de)(de)離子濃度(du)的(de)(de)統計性(xing)進行分析(xi)。數(shu)(shu)(shu)據來(lai)自(zi)某(mou)石化企業的(de)(de)監測數(shu)(shu)(shu)據。頻率直方圖(tu)要將樣(yang)本值分為r個不相交的(de)(de)區間，r值可(ke)由 Sturges公式確定(ding)，并取整(zheng)數(shu)(shu)(shu)。r值取決(jue)于樣(yang)本數(shu)(shu)(shu)n。

  首先，假設各(ge)參數服從正態分布，并畫出正態分布的密度函數曲線(xian)，該(gai)計(ji)算(suan)采用matlab編程(cheng)完(wan)成，計(ji)算(suan)結果如圖6-3所示。

  從圖(tu)6-3可以看出，pH、氯離(li)子(zi)(zi)濃(nong)度(du)和硫酸根離(li)子(zi)(zi)濃(nong)度(du)滿足(zu)(zu)正態分(fen)布(bu)，而亞硫酸根離(li)子(zi)(zi)濃(nong)度(du)不滿足(zu)(zu)正態分(fen)布(bu)，經過分(fen)析，認為滿足(zu)(zu)威布(bu)爾分(fen)布(bu)，如圖(tu)6-4所示。

  經(jing)過卡方檢驗(yan)，在(zai)顯(xian)著性水平0.05下(xia)，可(ke)以認為：

  溫度服(fu)從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度(du)服從(cong)N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃(nong)度服(fu)從N(35.3481,17.57352);

  亞硫(liu)酸根(gen)離子濃(nong)度服(fu)從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布爾分布。

  亞硫酸根離子濃(nong)度服從威布爾(er)分布的原因：亞硫酸根不(bu)穩定，與氫離子反應，從而濃(nong)度逐漸減小(xiao)。

三、失效(xiao)概率(lv)計算方法

1. 解(jie)析(xi)法

  當應(ying)力(li)(li)和強(qiang)(qiang)度(du)是比較簡單的變量時(shi)，式（6-4)可(ke)(ke)(ke)以(yi)直接計算失效(xiao)概(gai)率。在一(yi)些研(yan)究中，會出現“干涉(she)面積＝失效(xiao)概(gai)率”的說(shuo)法，這種說(shuo)法是不正確的。根(gen)據(ju)可(ke)(ke)(ke)靠(kao)(kao)性理論可(ke)(ke)(ke)知，應(ying)力(li)(li)－強(qiang)(qiang)度(du)模型中強(qiang)(qiang)度(du)大(da)于應(ying)力(li)(li)的概(gai)率即為(wei)可(ke)(ke)(ke)靠(kao)(kao)度(du)。可(ke)(ke)(ke)靠(kao)(kao)度(du)P可(ke)(ke)(ke)根(gen)據(ju)下式計算

  從計算結果可以看出，失效概率(lv)遠小于干涉面積(ji)之和。

2. 數值解(jie)析法

  當(dang)隨(sui)機變量較(jiao)(jiao)多時，直(zhi)接求解(jie)失(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)值是(shi)(shi)很(hen)困難的，采用數值求解(jie)是(shi)(shi)一(yi)種(zhong)比較(jiao)(jiao)好的解(jie)決方法(fa)(fa)(fa)。在應力腐蝕概(gai)率(lv)計算中(zhong)，涉及的隨(sui)機變量較(jiao)(jiao)多且具有(you)不同的分布(bu)類(lei)型，結果難以用解(jie)析(xi)法(fa)(fa)(fa)和(he)近似法(fa)(fa)(fa)求解(jie)，可以采用蒙特(te)卡洛(luo)（Monte-Carlo)模擬法(fa)(fa)(fa)。Monte-Carlo模擬法(fa)(fa)(fa)的特(te)點是(shi)(shi)：①. 受(shou)研究問題(ti)維(wei)(wei)數的影(ying)響較(jiao)(jiao)小；②. 不受(shou)假設約束；③. 不存在狀態空間爆(bao)炸問題(ti)；④. 不受(shou)變量數量的影(ying)響。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)(fa)是(shi)(shi)一(yi)種(zhong)處理高維(wei)(wei)動態失(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)問題(ti)的方法(fa)(fa)(fa)。

  蒙特卡洛模擬法(fa)又稱為(wei)隨機模擬法(fa)，基本思想(xiang)是：