隨(sui)機變量模型和隨(sui)機過程模型是研究(jiu)香蕉視頻app下載蘋果版:應力腐蝕概率的常(chang)用模(mo)型(xing)，本章重點介紹(shao)隨機(ji)變量模(mo)型(xing)。

一(yi)、應力(li)-強(qiang)度干(gan)涉模型

 1942年，Pugsley提(ti)出(chu)了(le)采用應(ying)力、強度(du)分(fen)(fen)布函數曲線的(de)(de)(de)干涉(she)區面(mian)積分(fen)(fen)析(xi)失效概(gai)率的(de)(de)(de)方(fang)法，即應(ying)力－強度(du)干涉(she)模(mo)(mo)型(xing)(xing)，該模(mo)(mo)型(xing)(xing)在構件和系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)可(ke)靠(kao)性分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)得到了(le)廣(guang)(guang)泛應(ying)用。目前，已成為(wei)分(fen)(fen)析(xi)構件和系(xi)統(tong)失效概(gai)率的(de)(de)(de)重要模(mo)(mo)型(xing)(xing)之一。在結構可(ke)靠(kao)性分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)，應(ying)力－強度(du)（S-R)干涉(she)模(mo)(mo)型(xing)(xing)應(ying)用最廣(guang)(guang)，模(mo)(mo)型(xing)(xing)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)S和R的(de)(de)(de)含義不(bu)僅僅是(shi)力學分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)應(ying)力和強度(du)，二者(zhe)具有更廣(guang)(guang)泛的(de)(de)(de)范疇。對于一個系(xi)統(tong)而言，S指的(de)(de)(de)是(shi)造成結構破壞的(de)(de)(de)所(suo)有因素，即推動力；R代表了(le)結構抵抗(kang)破壞的(de)(de)(de)能力，即阻抗(kang)力。

  應(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)是一(yi)種(zhong)低應(ying)力(li)(li)脆(cui)斷(duan)(duan)，是斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)和(he)(he)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)兩種(zhong)機(ji)理相(xiang)互影響的(de)結果(guo)(guo)。因此，當應(ying)力(li)(li)還遠低于斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)應(ying)力(li)(li)時就能引起應(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)裂(lie)(lie)紋的(de)產生和(he)(he)擴(kuo)展。應(ying)力(li)(li)作(zuo)用(yong)降低了材料(liao)的(de)耐腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)性能，而(er)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)降低了材料(liao)的(de)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)強度，兩者是互相(xiang)促進的(de)。也就是說，機(ji)械(xie)力(li)(li)和(he)(he)化學力(li)(li)的(de)協同作(zuo)用(yong)導致了裂(lie)(lie)紋的(de)擴(kuo)展，如(ru)果(guo)(guo)只有應(ying)力(li)(li)或(huo)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)單獨作(zuo)用(yong)，是不會出現應(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)的(de)結果(guo)(guo)。應(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)要經過(guo)一(yi)定(ding)的(de)時間才(cai)能發生，這是因為(wei)能量積蓄到(dao)使材料(liao)破(po)壞的(de)程(cheng)度是需要時間的(de)，應(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)是使材料(liao)強度逐(zhu)漸退化的(de)過(guo)程(cheng)，因此，我們(men)可以采(cai)用(yong)耐久性損傷(shang)模型(xing)來描述應(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)失效的(de)物理過(guo)程(cheng)。由S-R干涉模型(xing)的(de)理論可以寫出結構的(de)極(ji)限狀(zhuang)態(tai)方程(cheng)

  因此，對于失(shi)效(xiao)概率的(de)研究(jiu)就轉化為對強度(du)(du)(du)和(he)應力由于概率分布干涉引起的(de)狀態失(shi)效(xiao)問(wen)題的(de)研究(jiu)。當(dang)fs(s)和(he)fR(r)分別表示應力和(he)強度(du)(du)(du)的(de)概率密度(du)(du)(du)函數(shu)時，圖中(zhong)兩者重疊部分面積反映了(le)失(shi)效(xiao)概率的(de)大(da)小，如圖6-1所(suo)示。

  假如最(zui)初應(ying)力(li)與(yu)強度(du)是(shi)(shi)留有(you)充分(fen)的(de)安全余(yu)量的(de)，那么(me)經(jing)過(guo)一定時間后(hou)，隨著應(ying)力(li)分(fen)布(bu)與(yu)強度(du)分(fen)布(bu)的(de)交(jiao)疊，就有(you)失效發生，這(zhe)種情形可以說是(shi)(shi)耐(nai)久模型(xing)(xing)的(de)典型(xing)(xing)例子。根據應(ying)力(li)－強度(du)干涉模型(xing)(xing)不(bu)但能夠(gou)求解應(ying)力(li)腐(fu)蝕失效概率(lv)，還可以分(fen)析應(ying)力(li)腐(fu)蝕不(bu)同階段的(de)概率(lv)情況(kuang)，如裂(lie)紋的(de)萌(meng)生概率(lv)、裂(lie)紋的(de)擴展(zhan)概率(lv)等。

  當材(cai)料發生腐(fu)蝕(shi)后(hou)，隨(sui)著時(shi)間(jian)的(de)推移，材(cai)料抵抗破(po)壞的(de)能力降(jiang)低(di)(di)，而腐(fu)蝕(shi)環境很可(ke)能變(bian)得更加(jia)苛刻。例如應(ying)力腐(fu)蝕(shi)，隨(sui)著裂(lie)紋的(de)擴展，材(cai)料強(qiang)度(du)降(jiang)低(di)(di)、裂(lie)紋尖端(duan)應(ying)力集中區域(yu)增大，局部存在(zai)侵蝕(shi)性離(li)子的(de)富集，使得廣義應(ying)力變(bian)大而強(qiang)度(du)降(jiang)低(di)(di)，此時(shi)S(t)和R(t)都是與時(shi)間(jian)有關的(de)變(bian)量，很顯然(ran)，概率(lv)密度(du)函數也著時(shi)間(jian)的(de)變(bian)化而變(bian)化。當強(qiang)度(du)隨(sui)時(shi)間(jian)發生衰退(tui)時(shi)，強(qiang)度(du)和應(ying)力組成的(de)干涉區域(yu)隨(sui)時(shi)間(jian)變(bian)化會越(yue)來越(yue)大，這(zhe)意(yi)味著產品可(ke)靠性在(zai)降(jiang)低(di)(di)。

  大多數(shu)(shu)參(can)數(shu)(shu)的(de)(de)不(bu)確定性與時(shi)間有關。發生應力腐蝕(shi)時(shi)，構件所受的(de)(de)廣義應力一(yi)般是隨機(ji)過程，應力稱為(wei)時(shi)間的(de)(de)函(han)(han)數(shu)(shu)，強度為(wei)一(yi)固定的(de)(de)臨(lin)界值，如圖6-2所示，功能函(han)(han)數(shu)(shu)應表(biao)示為(wei)

二、應力腐(fu)蝕參數(shu)的概率分布估計

1. 變量分(fen)布(bu)類型確(que)定

  采用S-R模(mo)型分(fen)(fen)(fen)析應(ying)力(li)腐蝕(shi)失效概(gai)率(lv)時，第一(yi)步是(shi)確定應(ying)力(li)腐蝕(shi)的(de)(de)“推動力(li)”，即(ji)S所包含的(de)(de)參(can)(can)數(shu)，包括溫度、侵蝕(shi)性離子濃度、pH值(zhi)等，分(fen)(fen)(fen)析各參(can)(can)數(shu)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)概(gai)型。在(zai)進行參(can)(can)數(shu)的(de)(de)概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類(lei)型研究(jiu)中，一(yi)般經(jing)過以(yi)下步驟：①. 假設隨機變量(liang)服從(cong)某一(yi)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)；②. 在(zai)假設分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)基礎(chu)上構建統(tong)(tong)計(ji)量(liang)；③. 根據統(tong)(tong)計(ji)量(liang)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)做(zuo)出(chu)統(tong)(tong)計(ji)推斷(duan)，進行擬(ni)合(he)檢驗；④. 選擇最優概(gai)型。常用的(de)(de)統(tong)(tong)計(ji)量(liang)包括均值(zhi)、標準差、極(ji)差、變異(yi)系數(shu)、偏度等。正態分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、威布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、指數(shu)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)以(yi)及(ji)Poisson分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)等都是(shi)應(ying)力(li)腐蝕(shi)概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)析中經(jing)常用到的(de)(de)隨機變量(liang)的(de)(de)概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類(lei)型。

通常，直接計算概率(lv)的(de)密(mi)(mi)度(du)函(han)數難度(du)非常大，常用的(de)處(chu)理方法是把概率(lv)密(mi)(mi)度(du)估計轉化為參數估計問題。因(yin)此概率(lv)密(mi)(mi)度(du)函(han)數的(de)確定是關(guan)鍵，正(zheng)確的(de)密(mi)(mi)度(du)函(han)數是獲得準確估計值的(de)重要前提。

2. 參(can)數的估計和(he)假設檢驗

由于正(zheng)(zheng)態分布(bu)情況發生的(de)(de)(de)比較(jiao)多(duo)，因此，以正(zheng)(zheng)態分布(bu)為例加以說明。參數估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路是(shi)采用(yong)樣(yang)本統計(ji)(ji)(ji)(ji)量估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)總體參數。常用(yong)的(de)(de)(de)參數估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)(fa)有(you)矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)和最大（極大）似(si)然(ran)(ran)法(fa)(fa)(fa)，除此之外，還有(you)最小二乘、貝葉(xie)斯(si)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)等方法(fa)(fa)(fa)。矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)不受(shou)變量分布(bu)的(de)(de)(de)影(ying)響(xiang)(xiang)，這(zhe)也恰(qia)恰(qia)成為該方法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)缺點，即變量的(de)(de)(de)分布(bu)信息不能被充分利用(yong)，一般具(ju)有(you)多(duo)個(ge)分析結果。與矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)相反，最大似(si)然(ran)(ran)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)使(shi)(shi)用(yong)受(shou)已知變量概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)影(ying)響(xiang)(xiang)，必須(xu)在(zai)已知概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)前(qian)提下(xia)才(cai)能使(shi)(shi)用(yong)，而且(qie)假設的(de)(de)(de)概(gai)率模型(xing)正(zheng)(zheng)確性對參數估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)結果影(ying)響(xiang)(xiang)很大。最大似(si)然(ran)(ran)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)具(ju)有(you)計(ji)(ji)(ji)(ji)算簡單、收斂型(xing)好等特點，在(zai)參數估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)中(zhong)的(de)(de)(de)應用(yong)更加廣泛，其主要計(ji)(ji)(ji)(ji)算步(bu)驟如下(xia)：

  式（6-10)稱(cheng)為似(si)然方程組，求解該方程組，得出(chu)均(jun)值(zhi)、方差最大似(si)然估計(ji)值(zhi)

  以(yi)上過程是(shi)參數(shu)(shu)估計(ji)，下面對參數(shu)(shu)假設檢(jian)(jian)驗(yan)。與參數(shu)(shu)估計(ji)的目的相同，參數(shu)(shu)假設檢(jian)(jian)驗(yan)也是(shi)根據樣本信息對總體的數(shu)(shu)量特征(zheng)進行推斷。

  假(jia)(jia)(jia)設(she)檢驗(yan)(yan)是以樣(yang)本(ben)資料對總(zong)體(ti)的(de)(de)(de)先驗(yan)(yan)假(jia)(jia)(jia)設(she)是否成立，根據樣(yang)本(ben)的(de)(de)(de)統(tong)計(ji)(ji)(ji)量檢驗(yan)(yan)假(jia)(jia)(jia)設(she)的(de)(de)(de)總(zong)體(ti)參數的(de)(de)(de)可(ke)靠度，同時做出(chu)判斷結果(guo)，判斷結果(guo)包(bao)括(kuo)接受(shou)和拒(ju)絕。分析過程是：①. 提出(chu)原(yuan)(yuan)假(jia)(jia)(jia)設(she)（要求檢驗(yan)(yan)的(de)(de)(de)假(jia)(jia)(jia)設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)(jia)(jia)設(she)（如果(guo)原(yuan)(yuan)假(jia)(jia)(jia)設(she)不成立，就(jiu)要接受(shou)另一個假(jia)(jia)(jia)設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)(de)(de)檢驗(yan)(yan)統(tong)計(ji)(ji)(ji)量；③. 計(ji)(ji)(ji)算觀(guan)測值；④. 確(que)定(ding)顯(xian)著性水平(ping)；⑤. 依據檢驗(yan)(yan)統(tong)計(ji)(ji)(ji)量觀(guan)測值的(de)(de)(de)位置給出(chu)判斷結果(guo)。

在(zai)以上(shang)分(fen)析過程中(zhong)，可(ke)能會犯(fan)(fan)(fan)兩(liang)類(lei)(lei)錯(cuo)(cuo)誤：當H0為真時而拒絕H0,稱為第(di)一(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)(cuo)誤；當H0為假(jia)時而接受(shou)H0,稱為第(di)二(er)類(lei)(lei)錯(cuo)(cuo)誤。犯(fan)(fan)(fan)兩(liang)類(lei)(lei)錯(cuo)(cuo)誤的概(gai)率(lv)通常(chang)是矛(mao)盾的：一(yi)個概(gai)率(lv)小了另(ling)一(yi)個概(gai)率(lv)就(jiu)大。在(zai)實(shi)際使用(yong)中(zhong)，我們一(yi)般(ban)限定(ding)犯(fan)(fan)(fan)第(di)一(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)(cuo)誤的概(gai)率(lv)不超過給定(ding)的α,使犯(fan)(fan)(fan)第(di)二(er)類(lei)(lei)錯(cuo)(cuo)誤的概(gai)率(lv)就(jiu)可(ke)能小。在(zai)正態總體參數的假(jia)設檢(jian)驗(yan)中(zhong)，主要包括均值的U檢(jian)驗(yan)和t檢(jian)驗(yan)、方差的χ2檢(jian)驗(yan)等。

3. 分(fen)布的(de)假(jia)設檢(jian)驗

  上一小節介紹的(de)(de)是在總體分(fen)布(bu)已知(zhi)的(de)(de)情(qing)況下(xia)，對(dui)分(fen)布(bu)中的(de)(de)一些未知(zhi)參數進行檢驗(yan)(yan)(yan)。但是，很多(duo)時候并不知(zhi)道總體的(de)(de)分(fen)布(bu)規律(lv)，我(wo)們往往是根據樣本(ben)(ben)來(lai)假(jia)設(she)總體的(de)(de)分(fen)布(bu)類型，因(yin)此，對(dui)于總體樣本(ben)(ben)所假(jia)設(she)的(de)(de)分(fen)布(bu)是否正確，還需要檢驗(yan)(yan)(yan)，常用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗(yan)(yan)(yan)方(fang)法(fa)，其中χ2檢驗(yan)(yan)(yan)應用較(jiao)多(duo)，下(xia)面以這種方(fang)法(fa)為例(li)，介紹檢驗(yan)(yan)(yan)過程。

  χ2檢驗(yan)(yan)法的(de)分析過程是：①. 提出原假(jia)設(she)；②. 檢驗(yan)(yan)假(jia)設(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)干個(ge)互不相交的(de)小(xiao)區(qu)間把樣(yang)本(ben)數據(ju)進行分組，通(tong)常每個(ge)區(qu)間的(de)數據(ju)不少于5個(ge)，若(ruo)不滿足這一要求(qiu)，可以通(tong)過合并區(qu)間來達到(dao)這一要求(qiu)。假(jia)設(she)H0成立，根據(ju)分組結果計(ji)算χ2檢驗(yan)(yan)統計(ji)量

4. 主要(yao)參數的概率分布(bu)

 根據(ju)以上分析步驟，對(dui)應力(li)腐蝕環境中的(de)離子(zi)濃度的(de)統計性進行分析。數(shu)據(ju)來(lai)自某石化企業(ye)的(de)監測數(shu)據(ju)。頻率直方圖(tu)要(yao)將樣本(ben)值分為r個不相交的(de)區間(jian)，r值可由 Sturges公(gong)式確定，并取整數(shu)。r值取決于樣本(ben)數(shu)n。

  首先，假設(she)各參數服(fu)從(cong)正態分(fen)布(bu)，并畫出正態分(fen)布(bu)的密(mi)度函數曲線，該(gai)計算采用matlab編程(cheng)完成，計算結果如圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出(chu)，pH、氯離子濃度(du)和(he)硫酸(suan)根離子濃度(du)滿(man)足正態(tai)分(fen)布(bu)，而(er)亞硫酸(suan)根離子濃度(du)不(bu)滿(man)足正態(tai)分(fen)布(bu)，經過分(fen)析(xi)，認(ren)為滿(man)足威(wei)布(bu)爾分(fen)布(bu)，如(ru)圖6-4所示。

  經(jing)過卡方檢驗，在顯(xian)著性水(shui)平0.05下(xia)，可(ke)以認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服(fu)從(cong)N(4.4608,0.29522);

  硫(liu)酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子(zi)濃度(du)服從(cong)N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸(suan)根離(li)子(zi)濃度服(fu)從(cong)α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布爾分布。

  亞硫(liu)酸(suan)(suan)根(gen)離子濃(nong)度服從(cong)威布爾(er)分布的原(yuan)因：亞硫(liu)酸(suan)(suan)根(gen)不穩定，與氫離子反應，從(cong)而濃(nong)度逐(zhu)漸減小。

三、失(shi)效概率計(ji)算方法(fa)

1. 解析法

  當(dang)應(ying)(ying)力和強度(du)是比(bi)較簡單的(de)變量時，式（6-4)可以直接(jie)計(ji)算失效(xiao)概率。在(zai)一些研究中，會出現“干(gan)涉面積＝失效(xiao)概率”的(de)說(shuo)法，這種說(shuo)法是不正確(que)的(de)。根(gen)據可靠(kao)性(xing)理(li)論(lun)可知(zhi)，應(ying)(ying)力－強度(du)模型中強度(du)大于(yu)應(ying)(ying)力的(de)概率即(ji)為可靠(kao)度(du)。可靠(kao)度(du)P可根(gen)據下式計(ji)算

  從計算結果可以看出，失效概率遠(yuan)小于干涉面積(ji)之和。

2. 數值解析法

  當隨機(ji)變(bian)量(liang)較(jiao)多(duo)時(shi)，直接求(qiu)解(jie)(jie)失效概(gai)率(lv)值(zhi)是(shi)(shi)很困(kun)難(nan)的，采用數(shu)(shu)(shu)值(zhi)求(qiu)解(jie)(jie)是(shi)(shi)一種比較(jiao)好(hao)的解(jie)(jie)決方(fang)法(fa)(fa)。在應力(li)腐蝕概(gai)率(lv)計算中，涉及的隨機(ji)變(bian)量(liang)較(jiao)多(duo)且(qie)具有(you)不同的分布(bu)類型，結果難(nan)以(yi)(yi)用解(jie)(jie)析法(fa)(fa)和(he)近(jin)似法(fa)(fa)求(qiu)解(jie)(jie)，可以(yi)(yi)采用蒙特卡洛（Monte-Carlo)模擬(ni)(ni)法(fa)(fa)。Monte-Carlo模擬(ni)(ni)法(fa)(fa)的特點是(shi)(shi)：①. 受(shou)研究問(wen)題(ti)維(wei)數(shu)(shu)(shu)的影響較(jiao)小；②. 不受(shou)假設約(yue)束；③. 不存在狀態(tai)空間爆炸問(wen)題(ti)；④. 不受(shou)變(bian)量(liang)數(shu)(shu)(shu)量(liang)的影響。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)是(shi)(shi)一種處(chu)理(li)高維(wei)動態(tai)失效概(gai)率(lv)問(wen)題(ti)的方(fang)法(fa)(fa)。

  蒙特卡洛模擬法(fa)又稱為隨機模擬法(fa)，基本思想(xiang)是：