隨(sui)機變量(liang)模(mo)(mo)型和(he)隨(sui)機過程模(mo)(mo)型是(shi)研(yan)究香蕉視頻app下載蘋果版:應力腐蝕概率的(de)常用模型，本章重點介(jie)紹隨機(ji)變量模型。

一、應力-強度干涉模(mo)型

 1942年，Pugsley提出了(le)采用(yong)(yong)應(ying)(ying)力(li)、強(qiang)(qiang)度分(fen)布函(han)數曲線的(de)(de)(de)(de)(de)干(gan)(gan)涉區面積分(fen)析(xi)(xi)失(shi)效(xiao)概(gai)率的(de)(de)(de)(de)(de)方法，即應(ying)(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度干(gan)(gan)涉模型，該模型在(zai)構(gou)件和系(xi)統的(de)(de)(de)(de)(de)可靠性分(fen)析(xi)(xi)中(zhong)得到了(le)廣泛(fan)應(ying)(ying)用(yong)(yong)。目前(qian)，已成(cheng)為(wei)分(fen)析(xi)(xi)構(gou)件和系(xi)統失(shi)效(xiao)概(gai)率的(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)要模型之一(yi)。在(zai)結(jie)構(gou)可靠性分(fen)析(xi)(xi)中(zhong)，應(ying)(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度（S-R)干(gan)(gan)涉模型應(ying)(ying)用(yong)(yong)最廣，模型中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)S和R的(de)(de)(de)(de)(de)含義不(bu)僅僅是(shi)力(li)學分(fen)析(xi)(xi)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)力(li)和強(qiang)(qiang)度，二者(zhe)具有(you)更廣泛(fan)的(de)(de)(de)(de)(de)范疇。對于(yu)一(yi)個系(xi)統而言，S指(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)造成(cheng)結(jie)構(gou)破(po)壞的(de)(de)(de)(de)(de)所有(you)因素，即推動(dong)力(li)；R代表了(le)結(jie)構(gou)抵抗(kang)破(po)壞的(de)(de)(de)(de)(de)能力(li)，即阻抗(kang)力(li)。

  應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)是(shi)一種低應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)脆(cui)斷(duan)(duan)(duan)，是(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)和(he)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)兩(liang)種機理相互影響(xiang)的(de)結(jie)果(guo)。因(yin)(yin)此，當應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)還(huan)遠(yuan)低于斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)時就能(neng)引(yin)起應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)裂(lie)紋的(de)產生和(he)擴展。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)作(zuo)用降低了(le)材(cai)(cai)料的(de)耐(nai)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)性能(neng)，而腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)降低了(le)材(cai)(cai)料的(de)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)強度(du)，兩(liang)者是(shi)互相促進(jin)的(de)。也就是(shi)說，機械力(li)(li)(li)(li)和(he)化學力(li)(li)(li)(li)的(de)協同作(zuo)用導致(zhi)了(le)裂(lie)紋的(de)擴展，如果(guo)只有應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)或(huo)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)單獨作(zuo)用，是(shi)不會出現應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)的(de)結(jie)果(guo)。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂(lie)要經過一定(ding)的(de)時間才能(neng)發生，這是(shi)因(yin)(yin)為能(neng)量(liang)積蓄到使(shi)(shi)材(cai)(cai)料破壞的(de)程度(du)是(shi)需要時間的(de)，應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)是(shi)使(shi)(shi)材(cai)(cai)料強度(du)逐漸(jian)退化的(de)過程，因(yin)(yin)此，我們可(ke)以采(cai)用耐(nai)久性損傷模(mo)型來描(miao)述應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)(fu)(fu)蝕(shi)失效(xiao)的(de)物理過程。由(you)S-R干涉模(mo)型的(de)理論可(ke)以寫出結(jie)構的(de)極限(xian)狀(zhuang)態(tai)方(fang)程

  因此，對于失(shi)效(xiao)(xiao)概(gai)率(lv)的(de)(de)研究(jiu)就轉化為對強(qiang)度和應力由(you)于概(gai)率(lv)分布干涉(she)引(yin)起的(de)(de)狀(zhuang)態失(shi)效(xiao)(xiao)問題(ti)的(de)(de)研究(jiu)。當fs(s)和fR(r)分別表(biao)示應力和強(qiang)度的(de)(de)概(gai)率(lv)密(mi)度函數時，圖(tu)中兩者(zhe)重疊部分面積反映了失(shi)效(xiao)(xiao)概(gai)率(lv)的(de)(de)大小，如圖(tu)6-1所示。

  假如(ru)最(zui)初應力(li)與(yu)強度(du)(du)是留有充(chong)分(fen)的(de)(de)安全余量的(de)(de)，那么經過一定時間后，隨(sui)著應力(li)分(fen)布(bu)與(yu)強度(du)(du)分(fen)布(bu)的(de)(de)交疊，就有失(shi)效(xiao)發生(sheng)，這種情(qing)形可以(yi)說是耐久(jiu)模型(xing)(xing)的(de)(de)典型(xing)(xing)例子。根(gen)據應力(li)－強度(du)(du)干涉模型(xing)(xing)不但能夠求解應力(li)腐蝕失(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)(lv)，還可以(yi)分(fen)析(xi)應力(li)腐蝕不同(tong)階段的(de)(de)概(gai)率(lv)(lv)情(qing)況，如(ru)裂(lie)紋的(de)(de)萌生(sheng)概(gai)率(lv)(lv)、裂(lie)紋的(de)(de)擴展概(gai)率(lv)(lv)等。

  當(dang)材料(liao)發生腐蝕(shi)(shi)后，隨(sui)著時間(jian)的推(tui)移，材料(liao)抵抗破壞的能(neng)力(li)降低(di)，而腐蝕(shi)(shi)環境很可能(neng)變(bian)得(de)更加苛刻。例如應(ying)力(li)腐蝕(shi)(shi)，隨(sui)著裂(lie)紋(wen)的擴(kuo)展，材料(liao)強(qiang)度(du)(du)(du)降低(di)、裂(lie)紋(wen)尖端應(ying)力(li)集中(zhong)區域增大(da)，局部存在侵蝕(shi)(shi)性(xing)離子的富集，使(shi)得(de)廣義應(ying)力(li)變(bian)大(da)而強(qiang)度(du)(du)(du)降低(di)，此時S(t)和R(t)都是與時間(jian)有關的變(bian)量，很顯然，概率密度(du)(du)(du)函數也著時間(jian)的變(bian)化(hua)而變(bian)化(hua)。當(dang)強(qiang)度(du)(du)(du)隨(sui)時間(jian)發生衰退時，強(qiang)度(du)(du)(du)和應(ying)力(li)組成的干涉(she)區域隨(sui)時間(jian)變(bian)化(hua)會越來越大(da)，這意味著產品可靠性(xing)在降低(di)。

  大多(duo)數參數的(de)(de)不確定性與時(shi)間有關。發生(sheng)應力腐蝕時(shi)，構件所受(shou)的(de)(de)廣(guang)義(yi)應力一(yi)般是隨機過程，應力稱為時(shi)間的(de)(de)函數，強(qiang)度為一(yi)固(gu)定的(de)(de)臨界值，如圖6-2所示，功能函數應表示為

二(er)、應力腐蝕參(can)數的概率分(fen)布估(gu)計

1. 變量分布類(lei)型確(que)定

  采用(yong)S-R模型(xing)(xing)(xing)分(fen)析(xi)應(ying)力(li)腐蝕(shi)(shi)(shi)(shi)失效概(gai)(gai)率(lv)時，第一(yi)步是(shi)確定應(ying)力(li)腐蝕(shi)(shi)(shi)(shi)的(de)(de)“推(tui)動力(li)”，即S所包含的(de)(de)參數(shu)(shu)(shu)，包括溫度、侵蝕(shi)(shi)(shi)(shi)性(xing)離(li)子濃度、pH值(zhi)等，分(fen)析(xi)各參數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)分(fen)布(bu)概(gai)(gai)型(xing)(xing)(xing)。在(zai)(zai)進行參數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)概(gai)(gai)率(lv)分(fen)布(bu)類型(xing)(xing)(xing)研究中，一(yi)般經過以(yi)下步驟(zou)：①. 假設(she)隨機變(bian)量(liang)(liang)服從某一(yi)分(fen)布(bu)；②. 在(zai)(zai)假設(she)分(fen)布(bu)基礎(chu)上(shang)構建統計量(liang)(liang)；③. 根據統計量(liang)(liang)的(de)(de)分(fen)布(bu)做出統計推(tui)斷，進行擬合(he)檢驗(yan)；④. 選(xuan)擇(ze)最優(you)概(gai)(gai)型(xing)(xing)(xing)。常(chang)用(yong)的(de)(de)統計量(liang)(liang)包括均值(zhi)、標準差、極差、變(bian)異系數(shu)(shu)(shu)、偏度等。正態分(fen)布(bu)、威布(bu)爾(er)（Weibull)分(fen)布(bu)、指數(shu)(shu)(shu)分(fen)布(bu)以(yi)及Poisson分(fen)布(bu)等都是(shi)應(ying)力(li)腐蝕(shi)(shi)(shi)(shi)概(gai)(gai)率(lv)分(fen)析(xi)中經常(chang)用(yong)到的(de)(de)隨機變(bian)量(liang)(liang)的(de)(de)概(gai)(gai)率(lv)分(fen)布(bu)類型(xing)(xing)(xing)。

通常，直接計(ji)算概(gai)率的密度(du)(du)函(han)數難度(du)(du)非常大，常用的處理方法是把概(gai)率密度(du)(du)估計(ji)轉化為參數估計(ji)問題。因此概(gai)率密度(du)(du)函(han)數的確(que)定是關鍵(jian)，正(zheng)確(que)的密度(du)(du)函(han)數是獲得準確(que)估計(ji)值(zhi)的重要前提。

2. 參數的估(gu)計(ji)和假設檢(jian)驗(yan)

由于正態(tai)分(fen)(fen)布情況發生的(de)(de)(de)(de)比(bi)較多(duo)，因此，以正態(tai)分(fen)(fen)布為(wei)例加以說明。參(can)數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)思路是(shi)采用(yong)樣本統計(ji)(ji)(ji)(ji)量(liang)(liang)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)總體參(can)數(shu)。常用(yong)的(de)(de)(de)(de)參(can)數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)方(fang)法(fa)(fa)(fa)有矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)和最大（極大）似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)，除此之(zhi)外(wai)，還(huan)有最小二乘、貝(bei)葉斯估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)等方(fang)法(fa)(fa)(fa)。矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)不(bu)受(shou)變量(liang)(liang)分(fen)(fen)布的(de)(de)(de)(de)影響(xiang)，這(zhe)也恰(qia)恰(qia)成為(wei)該方(fang)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)缺點(dian)，即變量(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)分(fen)(fen)布信息不(bu)能(neng)被充分(fen)(fen)利用(yong)，一般(ban)具(ju)有多(duo)個分(fen)(fen)析(xi)結(jie)果。與(yu)矩估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)相反，最大似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)使用(yong)受(shou)已知(zhi)變量(liang)(liang)概(gai)型的(de)(de)(de)(de)影響(xiang)，必須在(zai)已知(zhi)概(gai)型的(de)(de)(de)(de)前提(ti)下才(cai)能(neng)使用(yong)，而且(qie)假設(she)的(de)(de)(de)(de)概(gai)率(lv)模型正確(que)性對參(can)數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)結(jie)果影響(xiang)很大。最大似(si)然(ran)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)具(ju)有計(ji)(ji)(ji)(ji)算簡單、收斂型好等特點(dian)，在(zai)參(can)數(shu)估(gu)(gu)(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)(de)應(ying)用(yong)更加廣泛，其(qi)主(zhu)要計(ji)(ji)(ji)(ji)算步驟如下：

  式（6-10)稱為(wei)似然(ran)方程組，求解該方程組，得(de)出均值(zhi)、方差最(zui)大似然(ran)估計值(zhi)

  以上過程是(shi)參(can)數(shu)估計，下(xia)面對(dui)參(can)數(shu)假設檢(jian)驗(yan)。與(yu)參(can)數(shu)估計的目的相同，參(can)數(shu)假設檢(jian)驗(yan)也(ye)是(shi)根據樣本(ben)信息對(dui)總體的數(shu)量(liang)特征進(jin)行推斷。

  假(jia)(jia)設(she)檢(jian)驗是以樣(yang)本資料(liao)對(dui)總體的(de)(de)(de)(de)先驗假(jia)(jia)設(she)是否(fou)成立，根據(ju)樣(yang)本的(de)(de)(de)(de)統計(ji)(ji)量(liang)檢(jian)驗假(jia)(jia)設(she)的(de)(de)(de)(de)總體參數(shu)的(de)(de)(de)(de)可靠(kao)度，同時做(zuo)出判(pan)斷結果(guo)(guo)，判(pan)斷結果(guo)(guo)包括接受和拒絕(jue)。分析(xi)過程是：①. 提出原假(jia)(jia)設(she)（要求檢(jian)驗的(de)(de)(de)(de)假(jia)(jia)設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選(xuan)假(jia)(jia)設(she)（如(ru)果(guo)(guo)原假(jia)(jia)設(she)不成立，就要接受另一個假(jia)(jia)設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選(xuan)取恰當的(de)(de)(de)(de)檢(jian)驗統計(ji)(ji)量(liang)；③. 計(ji)(ji)算觀測值；④. 確(que)定(ding)顯著性水平(ping)；⑤. 依(yi)據(ju)檢(jian)驗統計(ji)(ji)量(liang)觀測值的(de)(de)(de)(de)位置給出判(pan)斷結果(guo)(guo)。

在以上(shang)分析過程(cheng)中，可能會犯兩類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤：當H0為真時而拒絕H0,稱為第(di)(di)一(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤；當H0為假時而接受H0,稱為第(di)(di)二類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤。犯兩類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤的(de)概(gai)率通常是(shi)矛(mao)盾(dun)的(de)：一(yi)個概(gai)率小了另(ling)一(yi)個概(gai)率就大。在實際使用中，我(wo)們一(yi)般(ban)限定(ding)犯第(di)(di)一(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤的(de)概(gai)率不超過給定(ding)的(de)α,使犯第(di)(di)二類(lei)錯(cuo)(cuo)(cuo)誤的(de)概(gai)率就可能小。在正(zheng)態總體參數的(de)假設檢驗中，主要(yao)包括均值的(de)U檢驗和t檢驗、方差的(de)χ2檢驗等。

3. 分布的假設檢驗

  上(shang)一(yi)小節(jie)介(jie)紹的是在總體(ti)分布(bu)已知的情況下，對分布(bu)中(zhong)的一(yi)些未(wei)知參數進行檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)。但是，很多時(shi)候(hou)并不知道總體(ti)的分布(bu)規(gui)律(lv)，我(wo)們往(wang)往(wang)是根據樣(yang)本來假設總體(ti)的分布(bu)類型，因此，對于總體(ti)樣(yang)本所(suo)假設的分布(bu)是否正確，還需要檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)，常(chang)用(yong)的有(you)χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)方(fang)法(fa)，其中(zhong)χ2檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)應用(yong)較(jiao)多，下面以這種方(fang)法(fa)為例(li)，介(jie)紹檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)過程(cheng)。

  χ2檢驗法(fa)的(de)(de)分(fen)(fen)析過(guo)程是：①. 提出(chu)原(yuan)假設；②. 檢驗假設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)干個互不(bu)相交的(de)(de)小區(qu)間(jian)把樣本數據進行(xing)分(fen)(fen)組，通常每(mei)個區(qu)間(jian)的(de)(de)數據不(bu)少(shao)于5個，若(ruo)不(bu)滿足這一要(yao)求(qiu)，可以通過(guo)合并區(qu)間(jian)來達(da)到這一要(yao)求(qiu)。假設H0成立，根據分(fen)(fen)組結果計算χ2檢驗統計量

4. 主要參數的(de)概率分布

 根據(ju)(ju)以上分(fen)析步驟，對應力腐(fu)蝕(shi)環境中的(de)離(li)子濃度(du)的(de)統計性進行(xing)分(fen)析。數據(ju)(ju)來(lai)自某(mou)石化企業的(de)監(jian)測數據(ju)(ju)。頻率(lv)直方圖(tu)要將樣(yang)本(ben)值(zhi)分(fen)為r個(ge)不相交(jiao)的(de)區間，r值(zhi)可由 Sturges公式確(que)定，并取整數。r值(zhi)取決于(yu)樣(yang)本(ben)數n。

  首先，假(jia)設(she)各參數服(fu)從正(zheng)態分(fen)布，并畫出正(zheng)態分(fen)布的密度函(han)數曲線，該(gai)計算采(cai)用(yong)matlab編程完(wan)成，計算結果如圖(tu)6-3所示。

  從圖(tu)6-3可以看出，pH、氯離子(zi)濃(nong)度和硫(liu)酸(suan)根(gen)離子(zi)濃(nong)度滿足(zu)正(zheng)態分布(bu)，而亞硫(liu)酸(suan)根(gen)離子(zi)濃(nong)度不滿足(zu)正(zheng)態分布(bu)，經過分析，認(ren)為滿足(zu)威(wei)布(bu)爾分布(bu)，如圖(tu)6-4所示。

  經過卡(ka)方檢驗(yan)，在顯著性水平0.05下(xia)，可以(yi)認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根(gen)離子(zi)濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸(suan)根(gen)離子濃度(du)服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布爾分(fen)布。

  亞硫(liu)酸根(gen)離(li)子(zi)濃度(du)服從威布爾(er)分布的原因：亞硫(liu)酸根(gen)不穩定，與氫離(li)子(zi)反應，從而(er)濃度(du)逐漸減小(xiao)。

三、失效概率計算方法

1. 解析法

  當(dang)應(ying)(ying)力(li)(li)和強度是比較(jiao)簡單的變(bian)量時，式（6-4)可(ke)以(yi)直接計(ji)算失(shi)(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)。在一些研究中，會出現“干涉面積＝失(shi)(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)”的說法，這種(zhong)說法是不正(zheng)確的。根據可(ke)靠性(xing)理論可(ke)知，應(ying)(ying)力(li)(li)－強度模型中強度大于應(ying)(ying)力(li)(li)的概(gai)率(lv)即為可(ke)靠度。可(ke)靠度P可(ke)根據下式計(ji)算

  從(cong)計算(suan)結(jie)果可以看(kan)出，失效概率遠小于干(gan)涉面積之(zhi)和(he)。

2. 數(shu)值(zhi)解析法

  當隨(sui)機(ji)變(bian)量(liang)較多時，直接求(qiu)解(jie)失(shi)效概率值是(shi)(shi)(shi)很困難的(de)，采用(yong)數值求(qiu)解(jie)是(shi)(shi)(shi)一種(zhong)比較好的(de)解(jie)決方法(fa)。在應(ying)力(li)腐蝕概率計算(suan)中，涉及(ji)的(de)隨(sui)機(ji)變(bian)量(liang)較多且具有不同(tong)的(de)分布類型，結果難以(yi)用(yong)解(jie)析法(fa)和(he)近似法(fa)求(qiu)解(jie)，可以(yi)采用(yong)蒙特卡洛（Monte-Carlo)模(mo)擬(ni)(ni)法(fa)。Monte-Carlo模(mo)擬(ni)(ni)法(fa)的(de)特點是(shi)(shi)(shi)：①. 受研究問題維數的(de)影響較小(xiao)；②. 不受假(jia)設約束；③. 不存在狀(zhuang)態空間爆炸(zha)問題；④. 不受變(bian)量(liang)數量(liang)的(de)影響。因此，Monte-Carlo法(fa)是(shi)(shi)(shi)一種(zhong)處理高維動(dong)態失(shi)效概率問題的(de)方法(fa)。

  蒙特卡洛模(mo)擬法(fa)又稱為隨機模(mo)擬法(fa)，基本思想是：